Η Αγγέλα Γιαννάκη γεννήθηκε στην Αθήνα. Σπούδασε βιολί και βιόλα στην Ελλάδα (Ωδείο Φ. Νάκας) και το Λονδίνο (Guildhall school of Music and Drama, Royal College of Music). Οι σπουδές της πραγματοποιήθηκαν με  υποτροφίες ελληνικών και ξένων ιδρυμάτων (ίδρυμα  Ωνάση, Σκυλίτση, Μέγαρο Μουσικής Αθηνών και Royal College of Music). Έχει πραγματοποιήσει εμφανίσεις στην Ελλάδα, Γαλλία, Σκωτία, Ουαλία και έχει παίξει για το βρετανικό ραδιοφωνικό σταθμό BBC 3. Έχει δουλέψει με ορχήστρες στην Ελλάδα και το εξωτερικό (Camerata Nordica, Ensemble Modern Orchestra) ενώ έχει εμφανιστεί ως σολίστ με την Ορχήστρα των Χρωμάτων, με την Ορχήστρα του Δήμου Αθηναίων, την Κρατική Ορχήστρα Θεσσαλονίκης, την Ορχήστρα Bilkent της Τουρκίας. Την περίοδο 2007-2010 ήταν η βιόλα του Νέου Ελληνικού Κουαρτέτου. Με το κουαρτέτο  πραγματοποίησε σειρά συναυλιών στην Ελλάδα και το εξωτερικό, ηχογραφήσεις, εκπαιδευτικά προγράμματα καθώς και πρεμιέρες έργων. Η Αγγέλα Γιαννάκη ήταν υπότροφος της Διεθνούς Ακαδημίας του Ensemble Modern της Φρανκφούρτης (2005-2006). Υπήρξε μέλος του συνόλου Dissonart της Θεσσαλονίκης και είναι μέλος του συνόλου Ergon, σύνολα τα οποία ειδικεύονται στην σύγχρονη μουσική  Η Αγγέλα Γιαννάκη κατέχει τη θέση της πρώτης βιόλας της Εθνικής Λυρικής Σκηνής.